ユークリッド環

本稿ではユークリッド環について考察する．

ユークリッド環の雰囲気をつかむことから始めよう．

例１．

$ 8$は$ 3$で割ると$ 2$だけ余る：

$$ 8=3\cdot 2+2\rlap{.}$$

このことは一般の整数に言えて，ユークリッドの互除法が使えることの根拠になっている．

これは非常に簡単な例だが，次の例も見ておこう．

例2.

$ x^3+2x^2+3x-5$は$ x^2+1$で割ると，$ 2x-7$だけ余る：

$$ x^3+2x^2+3x-5=(x^2+1)(x+2)+2x-7\rlap{.}$$

つまり，整式（整数係数の多項式）は整数の場合と同じように割り算が行える．つまり，ユークリッドの互除法が使える．

このように，ユークリッドの互除法が成り立つような環のことをユークリッド環という．厳密な定義は後で与える．

ユークリッド環にならないような例についても考えてみよう．

例3．

二変数の整式がなす環はユークリッド環ではない．

例えば，$ x^2+2y^2-4xy+5x-8y+1$を$ x+y$で割ることなどを考えると，どのように商を選んでも，2次以下の項を消すことができない．

このような環と，ユークリッド環になる違いは何だろう．考えてみて欲しい．

答えは，適当な”余りを評価する指標$ \phi$”の存在である．

例えば例１では余りの大きさがそのまま$ \phi$として取れるし，例2の場合は整式の次数が$ \phi$となる．ところが例3ではこの次数によっては余りを正当に評価できない（実際にこのような$ \phi$が存在しないことは後で示すが，直接的には難しい）．

もう一つ，例を観察しよう．

上の二つの例は高校の数学で学ぶような例ではあるが，$ \phi$を見つけさえすれば，もう少し変わったユークリッド環を見つけることができる．

例４．整数の実部と虚部をもつ複素数．

$ 6+5i$を$ 2+3i$で割ったあまりを考えよう．複素数には（平面と同一視することにより）距離が定まるから，実部と虚部が整数であるもののうち，$ 2+3i$と$ q$の積が最も$ 6+5i$に近くなるように商$ q$を選べばよい．計算の実用的な方法については以下に示すが，今は$ q=2-i$とすることで，

$$ 6+5i=(2-i)(2+3i)+(1+0i)$$

とすることができる．

挑戦：

上の計算をせよ．整数の場合の類似で考えるとやりやすいかもしれない．

このように，ユークリッド環と呼ばれる環は，割り算の表示が行える環のことである．また，その環の構成には"余りを評価する指標"を決定すればよいということが分かった．

次に，これらのことを整理しながら，厳密な定義を与えよう．