ハーツホーンp.321の内容についての計算メモ．
$ k$を標数が$ 2$または$ 3$ではない代数閉体とする．
この体の上の楕円曲線について，適当な線形変換を行うことにより，
$$ y^2=x(x-1)(x-\lambda)$$
（ただし，$ \lambda\in k$）の形に書くことができる．このとき，この楕円曲線を次数が$ 2$の射$ f\colon X\rightarrow \mathbb{P}^1$だと思うことにする．ここで，$ G$を$ X$上のある点$ P_0$を固定するような$ X $の自己同型群とする．$\sigma \in G $について，$ f\circ \sigma=f$であって，$ \sigma$が$ X$上の恒等写像でないなら，$ \sigma$は位数$ 2$の元を定める．
これを具体的に計算により示した．（計算内容は高校レベルだけれど，忘れたら思い出せそうにないので今書いておく．）
任意の$ x\in X$について，
$$ f(x)^2=x(x-1)(x-\lambda),\ \ f(\sigma(x))^2=\sigma(x)(\sigma(x)-1)(\sigma(x)-\lambda)$$
であり，$ f\circ \sigma=f$より，
$$ x^3-(\lambda+1)x^2+\lambda x=\sigma(x)^3-(\lambda+1)\sigma(x)^2+\lambda \sigma(x)$$
が成り立つ．これを$ \sigma(x)$に関する$ 3$次方程式だと見ると，明らかに$ x$は解であるが，$ \sigma$は恒等写像ではないとしていたので，$ \sigma(x)\neq x$としても良い．このとき，上の等式を整理して，$ (\sigma(x)-x)$で割ることにより，$ \sigma(x)$についての$ 2$次方程式
$$ \sigma(x)^2+(x-\lambda-1)\sigma(x)+(x-\lambda)(x-1)=0\ \cdots(1)$$
を得る．この$2$つの解を$ \alpha ,\beta$と書く．$ \sigma$の位数が$ 2$であることを確認するため，この$ 2$つの解にさらに$ \sigma$を作用することを考える．まず，解と係数の関係から$ \alpha+\beta=(x-\lambda)(x-1),\ \alpha\beta=-(x-\lambda-1)$が成り立つ．得られた解にさらに$ \sigma$を作用させると，$ \sigma^2(x)$についての$ 2$次方程式
$$ \sigma^2(x)^2-(\sigma(x)-\lambda-1)\sigma^2(x)+(x-\lambda)(x-1)=0$$
を得ることとなる．これを解いて得られる$ 2$つの解を$ \alpha',\beta'$と書くことにすると，解と係数の関係より，$ \alpha'+\beta'=(\sigma(x)-\lambda)(\sigma(x)-1),\ \alpha'\beta'=-(\sigma(x)-\lambda-1)$が得られる．これは，式$ (4)$を$ x$についての$ 2$次方程式と見たときに解が満たすべき条件である．よって，$\sigma^2=1$．
